Лабораторная работа № 2

Изучение законов динамики поступательного и вращательного движения тел

Цель работы: провести аналогию между основными величинами и уравнениями, определяющими поступательное и вращательное движение твердого тела.

Поступательное движение - движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе (рис.1). Траектории всех точек тела одинаковы. Так движется, например кабина лифта или кабина колеса обозрения. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому достаточно изучить движение одной какой-то произвольной точки тела (например, движение центра масс тела).

Вращательное движение - движение, при котором траектории всех точек вращающегося тела являются окружностями, центры которых лежат на одной оси, называемой осью вращения (рис.2). Ось вращения может располагаться как внутри тела, так и за его пределами.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл.1).

Таблица 1
Поступательное движение			Вращательное движение
Кинематические характеристики движения
Путь	S	м	Угол поворота	j	рад
Время	t	с	Период	Т	с
Скорость	V	м/с	Угловая скорость	w	рад/с
Ускорение	a	м/с²	Угловое ускорение	e	рад/с²
Динамические характеристики движения
Масса	m	кг	Момент инерции	J	кг × м²
Сила	F	Н	Момент силы	M	Н×м
Импульс	p	кг × м/с	Момент импульса	L=J×w	кг × м² /с
Второй закон Ньютона	F=ma; F=dp/dt		Уравнение динамики вращательного движения	M=J×e; M=dL/dt
Работа	dA=F× dS	Дж	Работа	dA=M×dj	Дж
Кинетическая энергия	E_K=(mV²)/2	Дж	Кинетическая энергия	E_K_ВР=(Jw²)/2	Дж
Мощность	N=FV	Вт	Мощность	N=М×w	Вт

По табл.1 можно проследить аналогию между поступательным и вращательным движениями. Из сопоставления формул, приведенных в табл.1, видно, что от уравнений и законов поступательного движения можно формально перейти к уравнениям и законам вращательного движения, производя замену аналогичных параметров.

Таблица 2
Вид движения	Основные формулы
Поступательное
Равномерное прямолинейное V = const, a = 0	x=x₀+Vt	S=Vt	V=S/t
Равнопеременное прямолинейное V ≠ const, a = const	x=x₀+V_ot±(at²)/2	S=V_ot±(at²)/2	V=V_ot±at
Криволинейное движение	a²=a_n²+a_τ²	a_n=V²/R	a_τ=dV/dt
Вращательное
Равномерное w = const, e = 0	j=j₀+wt	w=j/t	w=2π/T
Равнопеременное w ≠ const, e = const	j=j₀+w₀t±(et²)/2	w=w₀t±(et²)/2	e=dw/dt
Связь между линейными и угловыми характеристиками
S=R×j	V=w×R	a_n=w²×R	a_τ=e×R

Решение динамических задач в механике связано с основными законами поступательного и вращательного движений.

К основным законам поступательного движения относятся:

Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.

Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

Общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Третий закон Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Основными законами вращательного движения твердого тела являются:

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

где: J_Z- момент инерции тела относительно оси Z; e -угловое ускорение.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Общими законами для поступательного и вращательного движения твердого тела служат:

Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы тел остается неизменной при любых движениях тел системы.

Общефизический закон сохранения энергии: энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую.

Определение параметров, характеризующих поступательное и вращательное движения твердого тела, можно провести опытным путем различными способами. Один из простых способов состоит в исследовании движения маятника Максвелла.

Маятник Максвелла состоит из маховика, ось которого на нитях подвешена к П-образной стойке. Если поднять маховик, накручивая нить на ось, и отпустить, то под действием постоянной силы тяжести, которая вызывает вращающий момент, маховик будет участвовать в равнопеременном поступательном движении (опускание) и вращательном движении.

Лабораторная установка включает в себя маятник Максвелла и электронный секундомер, с помощью которого фиксируется время опускания маятника.